दीर्घवृत्त frac{x^2}{16} + frac{y^2}{81} = 1 | vedclass

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Question

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{81} = 1$ पर स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xh}{16} + \frac{yk}{81}

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$36$

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(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{81} = 1$ पर स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xh}{16} + \frac{yk}{81} = 1$ है।$y=0$ रखने पर,$x$-अंतःखंड $x = \frac{16}{h}$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $B = (\frac{16}{h}, 0)$ है।$x=0$ रखने पर,$y$-अंतःखंड $y = \frac{81}{k}$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $A = (0, \frac{81}{k})$ है।त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes |\frac{16}{h}| 	imes |\frac{81}{k}| = \frac{648}{|hk|}$ है।चूंकि $(h, k)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81} = 1$। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81}}{2} \ge \sqrt{\frac{h^2 k^2}{16 	imes 81}}$।$\frac{1}{2} \ge \frac{|hk|}{4 	imes 9} \Rightarrow |hk| \le 18$।अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल $A = \frac{648}{|hk|} \ge \frac{648}{18} = 36$।इस प्रकार,त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।

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